---

点积

几何意义：

w 的投影方向与v 的投影方向相反时，点积为负值；垂直时，点积为0。

点积可以交换顺序：

\(w\cdot v=v\cdot w\)

直观理解：

v 与w 长度相等时，两种点积互为镜像。

此时缩放其中一个向量，破坏了对称性，但仍可以将缩放倍数提取出来，与上一种情况相同。

点积与投影的联系-对偶性

结论：

一个向量的对偶是它定义的线性变换

一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量。

理解：

两个向量的点积可以理解为其中一个向量对应的线性变换作用于另一个向量。

矩阵[1 -2]使得i-hat变为了1，j-hat变为了-2。

所以\(w*v=4*i+3*j=4*1+3*(-2)=-2\)